在非線性磁場的求解和分析中，可以通過引入不同的位和位組，簡化計算或提高效率。基于磁矢量位A的有限元法在二維、三維非線性磁場問題的求解中得到了廣泛的應(yīng)用。然而在三維場的計算中，由于每一個節(jié)點(diǎn)上A有三個方向分量，使得總未知量相對較多，進(jìn)而占用較多內(nèi)存；相對而言，基于磁標(biāo)量位Ф的計算則有未知量總數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)。

另一方面，磁場問題中作為激勵的外加電流的處理十分關(guān)鍵，尤其是在考慮場路耦合的條件下。一般直接在激勵源網(wǎng)格中施加電流密度或者通過積分的方法計算電流對簡化位的貢獻(xiàn)，前者難以保證激勵源與實(shí)體網(wǎng)格的準(zhǔn)確吻合，后者則需要額外的積分運(yùn)算，且不易處理場路耦合關(guān)系。

已有學(xué)者針對基于磁標(biāo)量位的有限元法進(jìn)行了研究。

• 有學(xué)者提出了對靜態(tài)磁場進(jìn)行求解的單標(biāo)量磁位法，并對相關(guān)模型進(jìn)行了求解。
• 有學(xué)者對簡化標(biāo)量位法、雙標(biāo)量位法和差場標(biāo)量位法三種方法進(jìn)行了分析，可以對一些問題進(jìn)行比較準(zhǔn)確的求解。
• 有學(xué)者使用雙標(biāo)量磁位法對開域靜磁場進(jìn)行了研究。
• 有學(xué)者給出了有源區(qū)域的處理方法并應(yīng)用到三維電磁場的求解中。

但上述研究大多數(shù)針對無源區(qū)域的磁場進(jìn)行分析，在有源區(qū)域的磁場需要通過積分的方法得到，在處理問題的過程中具有比較大的局限性。國外專家學(xué)者對磁標(biāo)量位問題的研究相對較多。L. F. Yann等基于磁標(biāo)量位對三維磁場的計算方法進(jìn)行了深入研究。O.Bíró等在時域下采用磁標(biāo)量位對渦流問題進(jìn)行了計算和分析。M. Gérard等基于磁標(biāo)量位對塊狀導(dǎo)體中的場路耦合關(guān)系和多連通域的處理方法進(jìn)行了研究。

太陽磁暴的周期性變化產(chǎn)生的準(zhǔn)直流、高壓直流輸電中單極大地回路方式或雙極以不平衡方式運(yùn)行和電力系統(tǒng)中電力電子器件特性的影響均會導(dǎo)致直流偏磁現(xiàn)象的發(fā)生。直流偏磁的發(fā)生會使變壓器工作在半飽和狀態(tài)，引起勵磁電流發(fā)生畸變、損耗增加、溫升增加和振動加劇等后果，嚴(yán)重影響變壓器正常運(yùn)行以及電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定。

直流偏磁條件下變壓器鐵心內(nèi)的磁場求解屬于典型的強(qiáng)非線性問題。有相關(guān)研究工作采用A在時域和頻域?qū)χ绷髌艈栴}進(jìn)行計算和分析。當(dāng)系統(tǒng)時間常數(shù)較大時，時步法需要較長的過渡時間，而頻域法則可以克服這方面的缺陷，同時還能夠與定點(diǎn)技術(shù)相結(jié)合，在頻域內(nèi)對各次諧波進(jìn)行并行計算。

本文采用基于復(fù)指數(shù)級數(shù)的諧波平衡法建立基于磁標(biāo)量位的頻域非線性磁場方程，引入電矢量位對激勵源進(jìn)行處理從而有效地簡化計算。將定點(diǎn)技術(shù)與頻域算法相結(jié)合，考慮場路耦合關(guān)系，在頻域內(nèi)對直流偏磁磁場和勵磁電流進(jìn)行求解。利用疊片鐵心模型進(jìn)行直流偏磁實(shí)驗，將基于磁標(biāo)量位的計算結(jié)果同實(shí)驗結(jié)果進(jìn)行比較，驗證了算法的有效性。

圖1 疊片鐵心實(shí)驗?zāi)Ｐ?/p>

總結(jié)

• 1）提出了基于磁標(biāo)量位的定點(diǎn)頻域分解算法，對疊片鐵心模型的直流偏磁問題進(jìn)行求解和分析。通過與實(shí)驗測量結(jié)果和其他數(shù)值方法計算結(jié)果的對比分析，驗證了本文算法的有效性和準(zhǔn)確性。
• 2）通過引入定點(diǎn)磁導(dǎo)率實(shí)現(xiàn)非線性系數(shù)矩陣的線性化處理，對各次諧波進(jìn)行解耦，降低了計算中系統(tǒng)占用的內(nèi)存，且適用于并行和分布式計算。在強(qiáng)加電流區(qū)域，引入與單位電流激勵對應(yīng)的電矢量位t0，利用其線性特征，基于棱單元進(jìn)行插值計算。對于形狀規(guī)則的繞組，該方法能夠有效地實(shí)現(xiàn)場路耦合建模。
• 3）基于磁標(biāo)量位的頻域分解算法可以對直流偏磁條件下變壓器內(nèi)部的磁場進(jìn)行較為準(zhǔn)確和快速的計算，既避免了時步法中的過渡過程，又可以為研究由直流偏磁引起的變壓器鐵心損耗、局部溫升、振動加劇及相關(guān)多物理場耦合問題提供重要支撐。
• 4）本文中的計算模型為二維模型，磁標(biāo)量位占用內(nèi)存少的優(yōu)勢難以體現(xiàn)，但其在三維電磁場數(shù)值計算中的優(yōu)勢將十分明顯。后續(xù)研究工作需要進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)針對三維模型的計算程序，并實(shí)現(xiàn)本文方法在解決非線性渦流問題時的有效性分析及其驗證。