電力系統(tǒng)中存在大量的靜電場問題，如換流閥屏蔽系統(tǒng)表面電場強(qiáng)度控制、變電站工頻電場分布和輸電線路周圍電磁環(huán)境等問題。邊界元法（Boundary Element Method, BEM）基于邊界積分方程，采用解析的基本解，是一種適合于開域問題的高精度數(shù)值計(jì)算方法。邊界元法只需要對邊界進(jìn)行剖分，簡化了網(wǎng)格的生成，具有降低求解維度的優(yōu)勢，與有限元法（Finite Element Method, FEM）相比可以減少計(jì)算的自由度。

由于邊界積分方程的全局性，BEM形成的系數(shù)矩陣是滿陣，計(jì)算系數(shù)矩陣的時(shí)間較長，存儲(chǔ)需要大量空間，因此消耗大量計(jì)算資源，限制了求解規(guī)模。目前已經(jīng)形成了不同的快速算法來解決這一問題，例如多層快速多極子方法（Fast Multipole Method, FMM）、分級(jí)矩陣壓縮方法、小波邊界元方法和自適應(yīng)交叉近似方法等。其中FMM利用球諧函數(shù)展開，引入多極展開和局部展開，利用展開系數(shù)在分層樹結(jié)構(gòu)中的遞歸運(yùn)算，完成源點(diǎn)與場點(diǎn)之間相互作用的聚合、轉(zhuǎn)移和分散，從而加速計(jì)算矩陣與向量的乘積。

多極子方法與邊界元結(jié)合形成多極子邊界元方法（Fast Multipole Boundary Element Method, FMBEM），避免形成完全的系數(shù)矩陣，計(jì)算量和存儲(chǔ)量與自由度近似呈線性關(guān)系，解決了傳統(tǒng)邊界元法求解規(guī)模限制的問題，在三維電磁問題中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。本文中利用多極子方法加速邊界元，提高計(jì)算速度，減少計(jì)算中內(nèi)存的占用量，擴(kuò)大求解規(guī)模。

實(shí)際工程問題邊界元分析的誤差總體上分為三類：模型誤差、離散誤差和計(jì)算誤差。其中離散誤差是由于計(jì)算所需的網(wǎng)格模型不能完全與真實(shí)物理模型吻合造成的。傳統(tǒng)上減小離散誤差的方法是增加單元數(shù)量和采用高階插值單元，但是這兩種方法會(huì)造成計(jì)算自由度的增加，降低了計(jì)算效率。

目前處理這一問題的方法主要有三種：等幾何法、參數(shù)空間法和基于坐標(biāo)變換的曲面單元法。等幾何法基于三維建模中使用的樣條函數(shù)，如非線性有理B樣條、T樣條等，利用樣條基函數(shù)進(jìn)行插值和積分計(jì)算，實(shí)現(xiàn)真實(shí)模型和網(wǎng)格模型的一體化。參數(shù)空間法在CAD軟件中進(jìn)行建模，利用邊界表征將表面映射到二維平面參數(shù)空間。在參數(shù)空間完成網(wǎng)格劃分，由于二維參數(shù)化空間和三維物理模型空間具有一一映射關(guān)系，同樣可以實(shí)現(xiàn)真實(shí)模型與網(wǎng)格模型的一體化。

基于坐標(biāo)變換的曲面單元法利用不同的坐標(biāo)變換將常規(guī)使用的平面單元轉(zhuǎn)換到二維空間，進(jìn)行插值和數(shù)值積分計(jì)算，等價(jià)于在實(shí)際的曲面單元進(jìn)行計(jì)算。與參數(shù)空間法不同，曲面單元法的網(wǎng)格與傳統(tǒng)網(wǎng)格劃分方法相同，都是在實(shí)際三維模型上進(jìn)行。基于坐標(biāo)變換的方法與另外兩種方法相比具有計(jì)算簡單的優(yōu)勢。本文利用基于坐標(biāo)變換的曲面邊界元法（Curved Boundary Element Method, CBEM）消除離散誤差，提高計(jì)算精度。

綜上所述，針對電力系統(tǒng)中的靜電場問題，基于間接積分方程，使用多極子方法加速曲面邊界元形成多極子曲面邊界元方法（Fast Multipole Curved Boundary Element Method, FMCBEM），提高計(jì)算精度和效率，擴(kuò)大求解規(guī)模。為了適應(yīng)曲面邊界元的特點(diǎn)，對多極子方法中樹結(jié)構(gòu)的劃分方法進(jìn)行改進(jìn)。通過不同的算例研究了該算法在計(jì)算精度和計(jì)算效率方面的表現(xiàn)。最后，應(yīng)用該算法分析了±350kV換流閥屏蔽系統(tǒng)表面電場分布，驗(yàn)證該算法對大規(guī)模問題的解決能力。

圖1 曲面邊界元計(jì)算過程

結(jié)論

本文針對電力系統(tǒng)中的靜電場問題，通過多極子方法加速基于坐標(biāo)變換的曲面邊界元法，形成了多極子曲面邊界元方法。該方法與曲面邊界元方法、多極子平面邊界元方法相比有如下優(yōu)勢：與曲面邊界元相比，提高了計(jì)算速度和效率，擴(kuò)大了求解規(guī)模；與多極子平面邊界元方法相比，增加了計(jì)算精度，可以在更少單元情況下實(shí)現(xiàn)更高的計(jì)算精度。

此外對多極子方法中樹結(jié)構(gòu)的劃分進(jìn)行改進(jìn)，劃分中考慮了單元尺寸和柵格尺寸之間的關(guān)系，減小計(jì)算誤差，進(jìn)一步增加了計(jì)算精度。在個(gè)人計(jì)算機(jī)上完成了節(jié)點(diǎn)數(shù)為17.9萬的±350kV單橋臂換流閥的屏蔽系統(tǒng)的表面電場強(qiáng)度的分析。

本文方法對于分析大規(guī)模靜電場問題具有優(yōu)勢。為了進(jìn)一步加快計(jì)算速度，下一步考慮采用多核并行的方式進(jìn)行計(jì)算。